The product of two numbers x and y is twice the sum of the numbers. What is the sum of the reciprocals of x and y?

অনুপাত

এখানে ৪ টি বৃত্তের মধ্যে প্রথম বৃত্তটির দ্বিগুণ হচ্ছে পরের বৃত্তটি এবং ৪গুণ হচ্ছে তৃতীয় বৃত্তটি আবার শেষের বৃত্তটি হচ্ছে ৮গুণ। তাহলে প্রথম বৃত্ত ও শেষের বৃত্তের তুলনা হচ্ছে ২ : ১৬ যাকে ১ : ৮ ও লেখা যায়। আবার ২য় বৃত্ত : ৪র্থ বৃত্ত = ৪ : ১৬ বা ১ : ৪ অর্থাৎ ৪ গুণ বড়।

সুতরাং আমরা বলতে পারি অনুপাত হচ্ছে এক বা একাধিক রাশির তুলনা যাকে (:) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় যা একটি ভগ্নাংশকে নির্দেশ করে। যেমন: ৩ : ৭ = $\frac{৩}{৭}$

• অনুপাত হচ্ছে একটি ভগ্নাংশ যাতে প্রথম রাশি লব এবং দ্বিতীয় রাশি হর।
• অনুপাতকে সবসময় ক্ষুদ্রতম আকারে প্রকাশ করতে হয়। অর্থাৎ ১০ : ৪ না লিখে ৫ : ২
• অনুপাতের তুলনার যে রাশি প্রথমে তার মান ও প্রথমেই বসাতে হয়। যেমন: A : B = 5 : 2 হলে B : A = 2 : 5 লেখা যায়, কিন্তু A : B = 5 : 2 এবং B : A = 5 : 2 একই না।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় যা অনেকে গুলিয়ে ফেলে, রিমির বয়স ১৫, রিনির বয়স ১২ তাই রিমিঃরিনি = ১৫ : ১২= ৫ : ৪ এরকম অংকে খেয়াল রাখতে হবে কে বড় আর কে ছোট এবং কার নাম প্রথমে আছে আর কার নাম পরে আছে।। আবার যদি বলে রিনি ও রিমির বয়সের অনুপাত কত তখন ৫ : ৪ না লিখে ৪ : ৫ লিখতে হবে। অর্থাৎ যার নাম আগে তার বয়সও আগে লিখতে হবে।

দৈনন্দিন জীবনে আমরা প্রায়শই একই ধরনের দুইটি জিনিস তুলনা করে থাকি। যেমন, নাবিলের উচ্চতা ১৫০ সে.মি. ও তার বোনের উচ্চতা ১৪০ সে.মি. হলে, আমরা বলতে পারি, নাবিলের উচ্চতা তার বোনের চেয়ে (১৫০ : ১৪০) সে.মি. বা ১০ সে.মি. বেশি।
এভাবে পার্থক্য বের করেও তুলনা করা যায়।

আবার, আমরা যদি দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তুলনা করতে চাই তাহলে ক্ষেত্রফলের পার্থক্য দিয়ে তুলনা সঠিক হয় না। বরং একটি বর্গক্ষেত্র অপরটির তুলনায় কতগুণ বড় বা ছোট তা থেকে ক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সঠিক তুলনা করা যায়। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে অপরটির ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে এই তুলনা করা হয়। এই ভাগের মাধ্যমে তুলনাকে অনুপাত বলা হয়। চিহ্নটি অনুপাতের গাণিতিক প্রতীক।

যেমন, বর্গক্ষেত্র দুইটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সে.মি. ও ৯ বর্গ সে.মি. হলে, তাদের অনুপাত হবে $\frac{8}{৯}=৪ :৯$ বা $\frac{৯}{৪}=৯ :৪$ অনুপাত একটি ভগ্নাংশ।

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

(ক) আয়তাকার চিত্রটির সমান ৭ ভাগের ২ ভাগ সাদা ও ৫ ভাগ কালো। সাদা ও কালো রং করা অংশের পরিমাণের অনুপাত ২: ৫। ২:৫ অনুপাতের ২ হলো পূর্ব রাশি এবং ৫ হলো উত্তর রাশি।

(খ) শওকতের ওজন ৩০ কেজি এবং তার পিতার ওজন ৬০ কেজি। শওকতের চেয়ে তার পিতার ওজন কতগুণ বেশি?

পিতা ও শওকতের ওজনের অনুপাত = $\frac{৬০ }{৩০}=\frac{২}{১}$ [লব ও হরকে ৩০ দ্বারা ভাগ করে]

= ২ : ১

এখানে পিতার ওজন শওকতের ওজনের চেয়ে $\frac{২}{১}$ বা ২ গুণ বেশি।

(গ) একটি শ্রেণিতে ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা যথাক্রমে ৫০ জন ও ৪০ জন।

এখানে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত = $\frac{৫০}{৪০}=\frac{৫}{৪}$ [লব ও হরকে ১০ দ্বারা ভাগ করে]

= ৫ : ৪

একটি শিশুর বয়সের সাথে অন্য একটি শিশুর ওজন কি তুলনা করা যাবে? তা কখনোই করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি সমজাতীয় হতে হবে। আবার মনে করি, একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস। সমজাতীয় হলেও এ ক্ষেত্রে দুইজনের বয়স সরাসরি তুলনা করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি একই একক বিশিষ্ট হতে হবে। এক্ষেত্রে দুইজনের বয়সকেই বছরে অথবা মাসে রূপান্তর করে নিতে হবে। এখানে, ৬ বছর ৬ $\times$ ১২ মাস ৭২ মাস ( ১ বছর = ১২ মাস) এবং ৯ বছর ৬ মাস = (৯ $\times$ ১২ ৬) মাস = ১১৪ মাস।

শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত ৭২: ১১৪ বা ১২: ১৯।

মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের করতে হবে।
ভাইয়ের বয়স ৩ বছর = ৩৬ মাস [$\because$ ১ বছর = ১২ মাস]

$\therefore$ ভাই ও বোনের বয়সের অনুপাত = $\frac{৩৬}{৬}$বা $\frac{৬}{১}$ [লব ও হরকে ৬ দ্বারা ভাগ করে]

• লক্ষ করি, ভিন্ন ভিন্ন এককে তুলনা করা যায় না। তুলনা করতে হলে এককগুলোকে এক জাতীয় করতে হবে। যেমন উপরের উদাহরণটিতে বছরকে মাসে রূপান্তর করা হয়েছে।

সমানুপাত

মনে করি, সোহাগ কোনো দোকান থেকে ১০ টাকা দিয়ে একটি চিপসের প্যাকেট এবং ২৫ টাকা দিয়ে ১ কেজি লবণ কিনল। এখানে লবণ ও চিপস্ এর দামের অনুপাত= ২৫ : ১০ বা ৫ : ২।

আবার, সোহাগদের শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৭০। এদের মধ্যে ছাত্র ৫০জন এবং ছাত্রী ২০জন। এখানে ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত= ৫০ : ২০ বা ৫ : ২। উভয়ক্ষেত্রে অনুপাত দুটি সমান।

অতএব, আমরা বলতে পারি, ২৫ : ১০ = ৫০ : ২০। এই অনুপাতে ৪টি রাশি আছে। এই ৪টি রাশির একটি সমানুপাত তৈরি করেছে।

এর মধ্যে ১ম রাশি ২৫, ২য় রাশি ১০, ৩য় রাশি ৫০ এবং ৪র্থ রাশি ২০ হিসেবে বিবেচনা করলে আমরা লিখতে পারি,

সমানুপাতের ১ম ও ২য় রাশি সমজাতীয় এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশি সমজাতীয় হবে।
অর্থাৎ ৪ টি রাশি সমজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন নেই। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি সমজাতীয় হলেই সমানুপাত তৈরি হয়।

সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। সমানুপাতে '=' চিহ্নের
পরিবর্তে '::' চিহ্নও ব্যবহার করা হয়। অতএব আমরা লিখতে পারি,

বা, ১ম রাশি/২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি

বা, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

ত্রৈরাশিক

আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

মনে করি,

১ম, ২য় ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯, ১৮, ২০।

তবে ৯ $\times$ ৪র্থ রাশি = ১৮ $\times$ ২০

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = $\frac{{}^{২}\cancel{১৮} \times ২০ }{\cancel{{৯}_{১}}}= ৪০$

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = ৪০

লক্ষ করি

• সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে।
• সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।

উদাহরণ ২। ৩, ৬,৭ এর ৪র্থ সমানুপাতী নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে ১ম রাশি ৩, ২য় রাশি ৬, ৩য় রাশি ৭

আমরা জানি,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

৩ $\times$ ৪র্থ রাশি = ৬ $\times$ ৭

বা, ৪র্থ রাশি = $\frac{{}^{২}\cancel{৬}\times ৭}{{\cancel{৩}}_{১}}$

বা, ১৪

নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতিক ১৪

উদাহরণ ৩। ৮, ৭ এবং ১৪ এর ৩য় রাশি নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে ১ম রাশি ৮, ২য় রাশি ৭ এবং ৪র্থ রাশি ১৪

আমরা জানি,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

বা, ৮ $\times$ ১৪ = ৭ $\times$ ৩য় রাশি

$\therefore$৩য় রাশি = $\frac{৮\times {\cancel{১৪}}^{২}}{\cancel{{৭}_{১}}}$

= ১৬

ক্রমিক সমানুপাত

মনে করি, ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকা এই তিনটি রাশি দ্বারা ৫: ১০ এবং ১০: ২০ এই দুটি অনুপাত নেওয়া হলো। এখানে, ৫: ১০: ১০: ২০। এ ধরনের সমানুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকাকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক : খ : : খ গ সমানুপাতটির তিনটি রাশি ক, খ, গ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\frac{ক }{খ}=\frac{খ}{গ}$ বাক $\times$ গ = (খ)^২ হবে।

অর্থাৎ, ১ম ও ৩য় রাশির গুণফল দ্বিতীয় রাশির বর্গের সমান।

লক্ষ করি:

• ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
• ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।

উদাহরণ ৪। একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১৬ হলে, মধ্য সমানুপাতী ও ক্রমিক সমানুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২

এখানে, ১ম রাশি = ৪ এবং ৩য় রাশি = ১৬

$\therefore$ ৪ $\times$ ১৬ = (মধ্য রাশি)^২

অথবা, (মধ্য রাশি)^২ = ৬৪

মধ্য রাশি = $\sqrt{৬৪}=৮$

নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত ৪ : ৮ :: ৮ : ১৬ এবং নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী ৮

উদাহরণ ৫। ৫টি খাতার দাম ২০০ টাকা হলে, ৭টি খাতার দাম কত?

সমাধান: এখানে খাতার সংখ্যা বাড়লে দামও বাড়বে।
অর্থাৎ, খাতার সংখ্যার অনুপাত= খাতার দামের অনুপাত

৫ : ৭ = ২০০ টাকা : ৭টি খাতার দাম

বা, $\frac{৫ }{৭}$ = ২০০ টাকা/ ৭টি খাতার দাম

বা, ৭টি খাতার দাম = ৭ $\times$ ২০০ টাকা / ৫ = ২৮০ টাকা।

উদাহরণ ৬। ১২জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। একই হারে কাজ করলে ১৮জনে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান: লক্ষ করি, লোকসংখ্যা বাড়লে সময় কম লাগবে, আবার লোকসংখ্যা কমলে সময় বেশি লাগবে। লোকসংখ্যার সরল অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান হবে।

১২ : ১৮ = নির্ণেয় সময় : ৯ দিন

বা, $\frac{{}^{২}\cancel{১২}}{\cancel{১{৮}_{৩}}}$= নির্ণেয় সময় / ৯ দিন

বা নির্ণেয় সময় = $\frac{২{\times }^{৩}\cancel{৯} }{\cancel{{৩}_{১}}}$দিন = ৬ দিন

সমানুপাতিক ভাগ

মনে করি, ৫০০ টাকা ৩ : ২ অনুপাতে বণ্টন করতে হবে।

এখানে ৩ : ২ অনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তর রাশির যোগফল = ৩+২ = ৫

১ম ভাগ = ৫০০ টাকার $\frac{৩}{৫}$ অংশ = ৩০০ টাকা

এবং ২য় ভাগ = ৫০০ টাকার $\frac{২}{৫}$ অংশ = ২০০ টাকা।

অতএব,

এভাবে উপরের পদ্ধতিতে একটি রাশিকে বিভিন্ন ভাগে বিভক্ত করা যায়।

উদাহরণ ৭। ২০ মিটার কাপড়কে তিন ভাইবোন অমিত, সুমিত ও চৈতির মধ্যে ৫: ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে প্রত্যেকের কাপড়ের পরিমাণ কত?

সমাধান: কাপড়ের পরিমাণ = ২০ মিটার

প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৩ : ২

অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫+৩+২ = ১০

অমিতের অংশ = ২০ মিটারের $\frac{৫ }{১০}$অংশ = ১০ মিটার

সুমিতের অংশ = ২০ মিটারের $\frac{৩ }{১০}$ অংশ = ৬ মিটার

এবং চৈতির অংশ = ২০ মিটারের $\frac{২}{১০}$অংশ = ৪ মিটার

অমিত, সুমিত ও চৈতির কাপড়ের পরিমাণ যথাক্রমে ১০ মিটার, ৬ মিটার ও ৪ মিটার।

উদাহরণ ৮। পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?

সমাধান: পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩ = $\frac{৪}{৩}$ = $\frac{৪\times ৫ }{৩\times ৫}$= $\frac{২০ }{১৫}$= ২০ : ১৫

তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত $\frac{৫}{৪}$ = $\frac{৫\times ৩ }{৪\times ৩}$= $\frac{১৫ }{১২}$= ১৫ : ১২

পনিরের আয়: তপনের আয় রবিনের আয় = ২০ : ১৫ : ১২

পনিরের আয়: রবিনের আয় = ২০ : ১২

বা, পনিরের আয় / রবিনের আয় = $\frac{২০ }{১২}$

বা, রবিনের আয় = পনিরের আয় $\times$ ১২ / ২০ টাকা

= $\frac{{}^{৬}\cancel{১২০}\times ১২ }{\cancel{২{০}_{১}}}$ টাকা বা ৭২ টাকা।

$\therefore$ রবিনের আয় ৭২ টাকা